Mathématicien utilise des idées dynamiques pour comprendre la géométrie d'un espace

Anonim

Steven Frankel n'a pas faim. Il veut juste parler de nouilles.

Frankel décrit un grand bol de nouilles - et si, et quand, les nouilles pourraient se retourner sur elles-mêmes - comme elles pourraient être extrudées à l'infini, d'une sorte de fabricant de pâtes cosmiques.

Les nouilles sont un moyen simplifié pour Frankel, professeur adjoint de mathématiques en arts et sciences à l’Université de Washington à Saint-Louis, de décrire un lien entre la géométrie d’un espace et la dynamique de cet espace. Tout cela fait partie de son premier article écrit en solo dans la principale revue de son domaine, les Annals of Mathematics .

Les géomètres et les dynamiques ont tendance à former deux camps distincts en mathématiques, mais Frankel préfère penser à ces choses en combinaison. Et il n'est pas seul. En juin 2018, il s'est rendu à Shenzhen, en Chine, pour présenter une partie de son travail dans le cadre de la Conférence internationale sur les systèmes dynamiques.

"Vous pouvez utiliser certaines idées dynamiques pour avoir un aperçu de la géométrie d'un espace", a déclaré Frankel. "Cela vous donne un moyen de diviser un espace en trois dimensions en brins unidimensionnels. Et vous pouvez espérer que si vous pouvez comprendre ces brins unidimensionnels, alors vous comprenez aussi comment ils s'emboîtent - pour avoir un aperçu de votre espace."

Imaginez un flux comme une feuille de liquide peu profonde en mouvement. Si vous pouviez identifier une seule molécule dans ce flux et suivre son évolution dans le temps, vous pouvez imaginer de construire une sorte de carte qui montre où le point est allé et quand.

Si au lieu de se déplacer sur la surface d'une feuille, le flux se déplace dans un espace en trois dimensions avec des propriétés géométriques différentes, vous pouvez toujours créer une carte de l'emplacement d'un point au fil du temps. Mais la carte serait différente: l’espace serait rempli de brins ou de courbes représentant les chemins de chaque point - ces nouilles à nouveau.

Le nouvel article de Frankel, l'hyperbolicité grossière et les orbites fermées pour les écoulements quasi-zodés, prouve une conjecture de Danny Calegari, le mathématicien de l'Université de Chicago, ancien conseiller et mentor de Frankel. Calegari a prédit que ces flux auraient des orbites fermées - ce qui signifie que certains d’entre eux retourneraient nécessairement là où ils ont commencé; Frankel a fait le gros du travail pour prouver que c'était vrai.

"Il existe une relation entre ces phénomènes dynamiques qui apparaissent - les points stationnaires et les points récurrents, par exemple - et la structure à grande échelle de l'espace sous-jacent par laquelle cette structure dynamique est représentée", a déclaré Frankel.

Frankel a débuté en ingénierie en tant que premier cycle à Cooper Union, mais a rapidement trouvé sa passion pour les mathématiques pures. Il a terminé son doctorat à l'Université de Cambridge en 2013, après avoir suivi Calegari au Royaume-Uni du California Institute of Technology en 2011. Frankel a ensuite enseigné les mathématiques à l'Université de Yale pendant quatre ans.

Il a enseigné son premier cours à l'Université de Washington à l'automne 2017.

"Chaque étudiant était fantastique", a déclaré Frankel, à propos des étudiants de premier cycle en théorie des graphes. "Tout le monde n'était pas une superstar. Mais à la fin, tout le monde était à l'aise de poser des questions en plein cours et de m'interrompre quand je pensais que j'avais tort.

"Ils étaient vraiment engagés dans l'apprentissage", a déclaré Frankel. "Je ne peux pas exagérer combien c'est important.

"Il y a ce mythe que l'apprentissage des mathématiques consiste à mémoriser un tas de théorèmes et à apprendre à les brancher ensemble", a-t-il déclaré. «La meilleure façon d’apprendre est d’avoir une question en tête - et de la toucher, et d’essayer de répondre à la question. Et cela exige un niveau d’engagement de la part de l’élève que vous ne trouvez pas partout.

Ce qui nous ramène aux pâtes et aux principales conclusions de son article.

"C'est le moyen le plus idiot mais toujours précis de dire ce que dit cet article", a déclaré Frankel. "Si vous avez un bol et qu'il est rempli de nouilles qui ne se regroupent pas trop, alors certaines de ces nouilles doivent former des boucles."

Mais les nouilles linguine? Ou rigatoni?

Frankel ne vous rend pas stupide de demander. (La réponse: linguine)

"Le truc avec les mathématiques est qu'il n'y a pas de questions évidentes", a déclaré Frankel. "En mathématiques, il n'y a pas de questions évidentes parce que vous n'avez pas affaire à des objets qui sont juste devant vous."

Il est prompt à souligner l'influence des générations précédentes, ainsi que le travail actuel des gens autour de lui dans un département.

"Les mathématiques sont une activité communautaire, pas individuelle", a déclaré Frankel. "Je ne peux pas simplement me dire de m'asseoir sur ce siège et de penser. Je ne peux pas m'inviter à trouver quelque chose d'intéressant.

"Pour une raison quelconque, c'est juste la façon dont nos esprits fonctionnent. Vous devez être guidé par quelque chose. Les questions ou les conjectures que vous trouvez en mathématiques - elles peuvent être intéressantes en elles-mêmes, elles peuvent être intéressantes, " il a dit. "Il est tout aussi important, sinon plus important, de trouver les bonnes questions à poser, car il est possible de répondre à ces questions."

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