Un ordre caché surprenant unit les nombres premiers et les matériaux cristallins

Anonim

Les chiffres apparemment aléatoires connus sous le nom de nombres premiers ne sont pas aussi scattershot que ce que l'on pensait auparavant. Une nouvelle analyse réalisée par des chercheurs de l’Université de Princeton a permis de découvrir des motifs dans les nombres premiers qui sont similaires à ceux trouvés dans les positions des atomes à l’intérieur de certains matériaux cristallins.

Les chercheurs ont trouvé une similitude surprenante entre la séquence des nombres premiers sur de longues étendues de la droite numérique et le motif résultant de rayons X brillants sur un matériau pour révéler la disposition interne de ses atomes. L'analyse pourrait conduire à prédire les nombres premiers avec une grande précision, ont déclaré les chercheurs. L'étude a été publiée le 5 septembre dans le Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment.

"Il y a beaucoup plus d'ordre dans les nombres premiers que jamais auparavant", a déclaré Salvatore Torquato, professeur de sciences naturelles à Princeton, Lewis Bernard, professeur de chimie et de l'Institut Princeton pour la science et la technologie des matériaux. "Nous avons montré que les nombres premiers se comportent presque comme un cristal ou, plus précisément, comme un matériau cristallin appelé" quasicrystal "."

Les premiers sont des nombres qui ne peuvent être divisés que par 1 et par eux-mêmes. Les très grands nombres premiers sont les éléments constitutifs de nombreux systèmes de cryptographie. Les premiers semblent être arrosés au hasard le long de la droite numérique, bien que les mathématiciens aient discerné un certain ordre. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7 et 11, devenant plus sporadiques plus haut dans la droite numérique.

Torquato et ses collègues ont constaté que, considérés sur de larges pans de la droite numérique, les nombres premiers sont plus ordonnés qu'on ne le pensait auparavant, entrant dans la classe des modèles appelée «hyperuniformité».

Les matériaux hyperuniformes ont un ordre spécial sur de grandes distances et comprennent des cristaux, des quasi-cristaux et des systèmes désordonnés spéciaux. L'hyperuniformité se trouve dans l'arrangement des cellules des cônes dans les yeux des oiseaux, dans certaines météorites rares et dans la structure à grande échelle de l'univers.

L’équipe a montré que l’ordre dans lequel ils se trouvaient dans les nombres premiers correspond au modèle qui résulte de l’interaction des rayons X avec certaines formes de matière. En tant que chimiste, Torquato est familier avec la cristallographie aux rayons X, faisant briller les rayons X à travers le réseau atomique tridimensionnel d'un cristal. Avec des diamants ou d’autres cristaux, cela se traduira par un modèle prévisible de points brillants ou de pics, appelés pics de Bragg.

Par rapport aux cristaux typiques, les quasi-cristaux produisent un arrangement distinct et plus complexe des pics de Bragg. Les pics dans un cristal typique se forment à intervalles réguliers avec des espaces vides entre eux. Dans les quasi-cristaux, entre deux pics de Bragg sélectionnés se trouve un autre pic de Bragg.

Le schéma que Torquato et ses collègues ont découvert dans les nombres premiers est similaire à celui des quasicristaux et à un autre système appelé ordre périodique limite, mais il diffère assez de ce que les chercheurs appellent cet ordre "limite effective-périodique". Les nombres premiers apparaissent dans des groupes "auto-similaires", ce qui signifie qu'entre des pics de certaines hauteurs, il existe des regroupements de pics plus petits, etc.

L'équipe a découvert de fortes indications d'un tel modèle en utilisant des simulations sur ordinateur pour voir ce qui se passerait si les nombres premiers étaient traités comme une chaîne d'atomes soumis aux rayons X. Dans un ouvrage publié dans le Journal of Physics A en février, les chercheurs ont rapporté avoir trouvé un motif surprenant de pics de type Bragg, indiquant que les motifs premiers étaient hautement ordonnés.

La présente étude utilise la théorie des nombres pour fournir une base théorique à ces expériences numériques antérieures. Les chercheurs ont réalisé que, bien que les nombres premiers apparaissent aléatoires sur de courts intervalles, Torquato a indiqué qu’à des intervalles suffisamment longs de la droite numérique, le sens peut être composé de nombres apparemment chaotiques.

"Quand vous allez à cette limite distinguée, " Boom! "Dit-il en claquant des doigts. "La structure ordonnée apparaît."

Torquato a co-écrit le papier avec Ge Zhang, qui a obtenu son doctorat en chimie en 2017 et l'étudiant en mathématiques Matthew de Courcy-Ireland.

De Courcy-Ireland a déclaré que des modèles numériques similaires étaient décrits par la "méthode du cercle" développée il y a près d'un siècle pour trouver des modèles dans les nombres premiers. "Pour moi, ce qui est intéressant, c’est de prendre ces résultats qui remontent à 1922 et de les reformuler d’une manière qui vous donne un nouvel exemple, un système avec un tas de propriétés qui est très intéressant et qui pourrait où vous pourriez chercher d'autres exemples physiques ", a-t-il déclaré.

La découverte pourrait aider la recherche en mathématiques et en sciences des matériaux. "Les nombres premiers ont de belles propriétés structurelles, y compris un ordre inattendu, une hyperuniformité et un comportement périodique efficace des limites", a déclaré Torquato. "Les primes nous apprennent un état de la matière complètement nouveau."

"Ce qui est fascinant dans cet article, c’est qu’il nous donne une perspective différente sur les nombres premiers: au lieu de les considérer comme des nombres, nous pouvons les voir comme des particules et essayer de tracer leur structure par diffraction des rayons X". chercheur principal chez Microsoft Research qui n’a pas participé à l’étude. "Cela nous donne le même type d’informations que les méthodes traditionnelles de la théorie des nombres et nous permet de créer des liens avec les travaux antérieurs. C’est une nouvelle perspective magnifique sur cette information et elle ouvre de nouveaux liens avec la science des matériaux et la diffusion. "

L’étude intitulée «Découvrir l’ordre multi-échelles dans les nombres premiers par diffusion» a été publiée dans le Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment le 5 septembre.

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